Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|2x-1|，}&{x＞0}\\{\frac{3}{2}x+2，}&{x≤0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（sinx）=m在區(qū)間[0，2π]上有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． 0＜m＜$\frac{1}{2}$
• B． 0＜m≤$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$＜m≤1
• D． $\frac{1}{2}$＜m＜1

Answer 1

分析 討論當(dāng)x∈[0，π]時，sinx∈[0，1]，則f（sinx）=|2sinx-1|，作出y=|2sinx-1|的圖象，當(dāng)x∈（π，2π]時，sinx∈[-1，0]，則f（sinx）=$\frac{3}{2}$sinx+2，作出y=$\frac{3}{2}$sinx+2的圖象，分別求得f（sinx）的范圍，結(jié)合圖象即可得到m的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|2x-1|，}&{x＞0}\\{\frac{3}{2}x+2，}&{x≤0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈[0，π]時，sinx∈[0，1]，
則f（sinx）=|2sinx-1|，作出y=|2sinx-1|的圖象，
可得f（sinx）∈[0，1]；
當(dāng)x∈（π，2π]時，sinx∈[-1，0]，
則f（sinx）=$\frac{3}{2}$sinx+2，作出y=$\frac{3}{2}$sinx+2的圖象，
可得f（sinx）∈[$\frac{1}{2}$，2]，
由方程f（sinx）=m在區(qū)間[0，2π]上有四個不同的實數(shù)根，
即有0＜m＜$\frac{1}{2}$．
故選A．

點評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．