Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3，
（1）當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a∈[4，6]時(shí)，f（x）≥0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，一元二次f（x）≥a恒成立，利用判別式△≤0，求出a的取值范圍；
（2）x∈[-2，2]時(shí)，f（x）≥a恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式組，求出a的取值范圍；
（3）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g（a）=x²+ax+3，在a∈[4，6]時(shí)，恒有g(shù)（a）≥0，由此列出不等式組，求出x的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+ax+3，
∴當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）≥a恒成立，
即x²+ax+3-a≥0恒成立；
∴△≤0，即a²-4（3-a）≤0，
化簡(jiǎn)得a²+4a-12≤0，
解得-6≤a≤2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|-6≤a≤2}；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，f（x）≥a恒成立，
化為x²+ax+3-a≥0恒成立，
令f（x）=x²+ax+3-a，則：
$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=7-3a≥0}\\{f（2）=7+a＞0}\\{-\frac{a}{2}＜-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=7-3a＞0}\\{f（2）=7+a≥0}\\{-\frac{a}{2}＞2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤-\frac{a}{2}≤2}\\{\frac{12-4a{-a}^{2}}{4}≥0}\end{array}\right.$，
解得-7≤a≤2；
∴a的取值范圍為[-7，2]；
（3）當(dāng)a∈[4，6]時(shí)，f（x）≥0恒成立，
可設(shè)g（a）=x²+ax+3，則g（a）在a∈[4，6]時(shí)，恒有g(shù)（a）≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（4）≥0}\\{g（6）≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+3≥0}\\{{x}^{2}+6x+3≥0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3或x≥-1}\\{x≤-3-\sqrt{6}或x≥-3+\sqrt{6}}\end{array}\right.$；
即x≤-3-$\sqrt{6}$或x≥-1，
∴x的取值范圍是{x|x≤-3-$\sqrt{6}$或x≥-1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．