Question

已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）記函數(shù)的圖象為曲線C．設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上的不同兩

點．如果在曲線C上存在點M（x₀，y₀），使得：①；②曲線C在點M處的切線

平行于直線AB，則稱函數(shù)F（x）存在“中值相依切線”，試問：函數(shù)f（x）是否存在“中

值相依切線”，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）①當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增

②當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增

③當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增；

④當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增 

（2）不存在。理由見解析

【解析】(I)求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)大于零確定其單調(diào)增區(qū)間，同時在求導(dǎo)時要注意函數(shù)的定義域.

(II)先假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”, 設(shè),是曲線上的不同兩點，且，則，.從而可得

再利用導(dǎo)數(shù)求出點處的切線斜率,根據(jù)斜率相等建立方程，然后再考慮從函數(shù)的角度進行分析求解.

解：（Ⅰ） 函數(shù)的定義域是.                 ………1分

由已知得，.         ………2分

ⅰ 當時, 令,解得;函數(shù)在上單調(diào)遞增

ⅱ 當時，   ①當時，即時, 令,解得或;

函數(shù)在和上單調(diào)遞增

②當時，即時, 顯然，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

③當時，即時, 令,解得或

函數(shù)在和上單調(diào)遞增                  ...........6分

綜上所述:⑴當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增

⑵當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增

⑶當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增；

⑷當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增   ………….7分

(Ⅱ)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”.

設(shè),是曲線上的不同兩點，且，

則，.

       …9分

曲線在點處的切線斜率   ，

依題意得：.

化簡可得： ， 即=.   ….11分

設(shè) ()，上式化為：,

.   令,.

因為,顯然，所以在上遞增,

顯然有恒成立.   所以在內(nèi)不存在,使得成立.

綜上所述，假設(shè)不成立.所以，函數(shù)不存在“中值相依切線”. …..14分