Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段B₁D₁上有兩個動點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=

2

2

，
（1）AC⊥BE．
（2）三棱錐A-BEF的體積為定值．
（3）在空間與DD₁，AC，B₁C₁都相交的直線有無數(shù)條．
（4）過CC₁的中點(diǎn)與直線AC₁所成角為40°并且與平面BEF所成角為50°的直線有2條．以上結(jié)論中正確的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）AC⊥BE，由題意及圖形知，AC⊥面DD₁B₁B，即可判斷出此命題正確；
（2）由于三角形BEF的面積是定值，A點(diǎn)到面DD₁B₁B距離是定值，即可得出此命題正確；
（3）固定直線B₁D₁的B₁點(diǎn)，讓點(diǎn)D₁沿著D₁D的方向向下移動，會與直線AC相交于一點(diǎn)，同理讓B₁變動一下位置到P點(diǎn)，也可以得到與直線AC、D₁D相交于一點(diǎn)的直線，因此在空間與DD₁，AC，B₁C₁都相交的直線有無數(shù)條．
（4）取CC₁的中點(diǎn)P，B₁D₁的中點(diǎn)O₁，BD的中點(diǎn)O₂，O₁O₂的中點(diǎn)O．連接OP、PO₂．則OP⊥平面DBB₁D₁，PO₂∥AC₁．在平面DBB₁D₁內(nèi)，以點(diǎn)O為圓心，

2 2

tan50°

=

2

2tan50°

為半徑畫圓，則點(diǎn)P與此圓上的點(diǎn)的連線滿足：
過CC₁的中點(diǎn)P與平面BEF所成角為50°的直線的條數(shù)．

解答： 解：（1）AC⊥BE，由題意及圖形知，AC⊥面DD₁B₁B，故可得出AC⊥BE，此命題正確；
（2）三棱錐A-BEF的體積為定值，由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點(diǎn)到面DD₁B₁B距離是定值，故可得三棱錐A-BEF的體積為定值，此命題正確；
（3）固定直線B₁D₁的B₁點(diǎn)，讓點(diǎn)D₁沿著D₁D的方向向下移動，會與直線AC相交于一點(diǎn)，同理讓B₁變動一下位置到P點(diǎn)，讓點(diǎn)D₁沿著D₁D的方向向下移動，也可以得到與直線AC相交于一點(diǎn)的直線，因此在空間與DD₁，AC，B₁C₁都相交的直線有無數(shù)條．
（4）取CC₁的中點(diǎn)P，B₁D₁的中點(diǎn)O₁，BD的中點(diǎn)O₂，O₁O₂的中點(diǎn)O．
連接OP、PO₂．則OP⊥平面DBB₁D₁，PO₂∥AC₁．在平面DBB₁D₁內(nèi)，以點(diǎn)O為
圓心，

2 2

tan50°

=

2

2tan50°

為半徑畫圓，則點(diǎn)P與此圓上的點(diǎn)的連線滿足：過CC₁的中點(diǎn)P與平面BEF所成角為50°的直線．則滿足與PO₂成40°的直線PQ有且只有
2條，因此正確．
綜上可知：（1）（2）（3）（4）都正確．
故答案為：（1）（2）（3）（4）．

點(diǎn)評：本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、三棱錐的體積計(jì)算公式、空間直線位置關(guān)系、異面直線的判定、空間角，考查了空間作圖能力與空間想象能力，考查了推理能力，屬于難題．