Question

若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n+a_n+1}是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當(dāng)q=-1時(shí)，a_n+a_n+1=a1(-1)n-1+a1(-1)n=0，數(shù)列{a_n+a_n+1}是等差數(shù)列；q=1時(shí)，a_n+a_n+1=2a₁，數(shù)列{a_n+a_n+1}既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；當(dāng)q≠±1時(shí)，a_n+a_n+1=a1qn-1+a1qn=a₁（1+q）q^n-1，數(shù)列{a_n+a_n+1}是公比為q，首項(xiàng)為a₁（1+q）的等比數(shù)列．

解答： 解：當(dāng)q=-1時(shí)，
a_n+a_n+1=a1(-1)n-1+a1(-1)n=0，
數(shù)列{a_n+a_n+1}是：0，0，0，…，它是等差數(shù)列；
q=1時(shí)，a_n+a_n+1=2a₁，
數(shù)列{a_n+a_n+1}是：2a₁，2a₁，2a₁，…，既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；
當(dāng)q≠±1時(shí)，a_n+a_n+1=a1qn-1+a1qn=a₁（1+q）q^n-1，
數(shù)列{a_n+a_n+1}是公比為q，首項(xiàng)為a₁（1+q）的等比數(shù)列．
∴數(shù)列{a_n+a_n+1}是

等差數(shù)列，q=-1 既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，q=1 等比數(shù)列，q≠±1

．
故答案為：

等差數(shù)列，q=-1 既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，q=1 等比數(shù)列，q≠±1

．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．