Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若過點(diǎn)A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值，可得f'（1）=f'（-1）=0，故可得到a、b的方程組，求解即可；
（2）由題意知，點(diǎn)A不在曲線上，故設(shè)出切點(diǎn)為M（x，y），根據(jù)切點(diǎn)在曲線y=f（x）上和導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立等量關(guān)系，推出2x³-3x²+m+3=0，由題意知，該方程有3個解，故將問題轉(zhuǎn)化為g（x）=2x³-3x²+m+3的極大值和極小值異號的問題，從而求出實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-3，依題意，f'（1）=f'（-1）=0，
即，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x．（4分）
（2）f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
∵曲線方程為y=x³-3x，
∴點(diǎn)A（1，m）不在曲線上．
設(shè)切點(diǎn)為M（x，y），則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足y=x³-3x．
∵f'（x）=3（x²-1），
∴切線的斜率為，
整理得2x³-3x²+m+3=0．（8分）
∵過點(diǎn)A（1，m）可作曲線的三條切線，
∴關(guān)于x方程2x³-3x²+m+3=0有三個實根．
設(shè)g（x）=2x³-3x²+m+3，
則g'（x）=6x²-6x，
由g'（x）=0，得x=0或x=1．（12分）
∴函數(shù)g（x）=2x³-3x²+m+3的極值點(diǎn)為x=0，x=1．
∴關(guān)于x方程2x³-3x²+m+3=0有三個實根的充要條件是g（1）g（0）＜0，
即（m+3）（m+2）＜0，解得-3＜m＜-2．
故所求的實數(shù)a的取值范圍是-3＜m＜-2．
點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值等知識，難度較大．