Question

如圖所示，拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1,2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)均在拋物線上．

(1)寫(xiě)出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；

(2)當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求y₁＋y₂的值及直線AB的斜率．

[分析]　(1)設(shè)出拋物線方程，利用待定系數(shù)法求解．

(2)可考慮“點(diǎn)差法”表示直線AB的斜率．

Answer 1

[解析]　(1)由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y²＝2px(p>0)．

∵點(diǎn)P(1,2)在拋物線上，

∴2²＝2p×1，解得p＝2.

故所求拋物線的方程是y²＝4x，

準(zhǔn)線方程是x＝－1.

(2)設(shè)直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB，

則，

∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，

∴k_PA＝－k_PB.

由A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)均在拋物線上，得

y＝4x₁①

y＝4x₂②

∴，

∴y₁＋2＝－(y₂＋2)．

∴y₁＋y₂＝－4.

由①－②得直線AB的斜率

k_AB＝＝－1(x₁≠x₂)．

[點(diǎn)評(píng)]　(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常采用待定系數(shù)法．利用題中已知條件確定拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p的值．

(2)對(duì)于和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的直線問(wèn)題，“點(diǎn)差法”是常用方法．如若A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)是拋物線y²＝2px上兩點(diǎn)，則直線AB的斜率k_AB與y₁＋y₂可得如下等式：

由y＝2px₁①

y＝2px₂②

②－①得y－y＝2p(x₂－x₁)，

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