（1）已知x＞1，證明：x+
1x
＞2；
（2）已知為a，b，c正實(shí)數(shù)，證明：a2+b2+c2≥ab+bc+ca．
分析：（1）利用基本不等式可以證明，注意等號(hào)不能�。�
（2）利用基本不等式，在相加，即可得出結(jié)論．
解答：證明：（1）∵x，
1
x
為正實(shí)數(shù)，∴x+
1
x
≥2
x•
1
x
=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)
又∵x＞1，∴不能取等號(hào)，∴x+
1
x
＞2（6分）
（2）∵a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），b2+c2≥2bc（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)），a2+c2≥2ac（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），
∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca）（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，注意定理的使用條件．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+bx2+（b2-1）x+1圖象的對(duì)稱中心為（0，1）；函數(shù)g(x)=ax3+
12
sinθ•x2-2x在 區(qū)間[-2，1）上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）求sinθ的值及g（x）的解析式；
（Ⅲ）設(shè)φ（x）=f（x）-g（x），試證：對(duì)任意的x1、x2∈（1，+∞）且x1≠x2，都有|φ（x2）-φ（x1）|＞2|x2-x1|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1+ln(x+1)
x
（x＞0），
（1）函數(shù)f（x） 在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞
3
x+1
恒成立；
（3）試證：（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e2n-3（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+
2
x
+alnx（x＞0），
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在x=1處的切線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y=f（x）對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1，x2總有以下不等式
1
2
[f（x1）+f（x2）≥f（
x1+x2
2
）成立，則稱函數(shù)y=f（x）為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”．試證當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）為“凹函數(shù)”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆廣東省高二下學(xué)期期中文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（1）已知x , y>0,且x+y>2，試證中至少有一個(gè)小于2。

（2）已知|a|<1，|b|<1，求證：>1

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

仔細(xì)閱讀下面問(wèn)題的解法：
設(shè)A=[0，1]，若不等式21-x-a＞0在A上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：由已知可得　a＜21-x
令f（x）=21-x，不等式a＜21-x在A上有解，
∴a＜f（x）在A上的最大值
又f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，f（x）max=f（0）=2
∴a＜2即為所求．
學(xué)習(xí)以上問(wèn)題的解法，解決下面的問(wèn)題：
（1）已知函數(shù)f（x）=x2+2x+3 （-2≤x≤-1）求f（x）的反函數(shù)及反函數(shù)的定義域A；
（2）對(duì)于（1）中的A，設(shè)g（x）=數(shù)學(xué)公式x∈A，試判斷g（x）的單調(diào)性；（不證）
（3）又若B={x|數(shù)學(xué)公式＞2x+a-5}，若A∩B≠Φ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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同步練習(xí)冊(cè)答案