Question

7．如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖、側(cè)視圖、俯視圖．
（1）若F為PD的中點(diǎn)，求證：AF⊥平面PCD；
（2）證明：BD∥平面PEC；
（3）求二面角E-PC-D的大小．

Answer 1

分析 （1）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，推導(dǎo)出PD⊥AF，CD⊥AF．由此能證明AF⊥平面PCD．
（2）以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，BE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明BD∥平面PEC．
（3）求出平面PCD的法向量和平面PEC的法向量，利用向量法能求出二面角E-PC-D的大�。�

解答 證明：（1）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，
PA⊥平面ABCD，PA∥EB，PA=2EB=4．
∵PA=AD，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，∴PD⊥AF．
又∵CD⊥DA，CD⊥PA，∴CD⊥AF．
∵CD∩PD=D，∴AF⊥平面PCD．
（2）以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，BE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（0，0，0），D（4，4，0），C（4，0，0），E（0，0，2），P（0，4，4），
$\overrightarrow{BD}$=（4，4，0），$\overrightarrow{EC}$=（4，0，-2），$\overrightarrow{EP}$=（0，4，2），
設(shè)平面PEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=4x-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=4y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
∵$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}$=4-4+0=0，BD?平面PEC，
∴BD∥平面PEC．
（3）$\overrightarrow{CP}$=（-4，4，4），$\overrightarrow{CD}$=（0，4，0），
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=-4a+4b+4c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=4b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
設(shè)二面角E-PC-D的大小為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=30°，
∴二面角E-PC-D的大小為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．