Question

19．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，平面SAB⊥底面ABCD，且SA=SB=$\sqrt{2}$，AD=1，AB=2，BC=3．
（Ⅰ）求證：平面SAD⊥平面SBC；
（Ⅱ）求平面SCD與底面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)SO，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，過O作BC的平行線為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面SAD⊥平面SBC．
（Ⅱ）求出平面SCD的法向量和平面ABCD的法向量，由此能求出平面SCD與底面ABCD所成二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)SO，
∵底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，平面SAB⊥底面ABCD，且SA=SB=$\sqrt{2}$，
∴SO⊥底面ABCD，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，過O作BC的平行線為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則S（0，0，1），A（1，0，0），D（1，1，0），B（-1，0，0），C（-1，3，0），
$\overrightarrow{SA}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{SB}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{SC}$=（-1，3，-1），$\overrightarrow{SD}$=（1，1，-1），
設(shè)平面SAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SA}=x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SD}=x+y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
設(shè)平面SBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SB}=-a-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SC}=-a+3b-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，-1），
$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=1+0-1=0，
∴平面SAD⊥平面SBC．
解：（Ⅱ）設(shè)平面SCD的法向量$\overrightarrow{p}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{SC}=-{x}_{1}+3{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{SD}={x}_{1}+{y}_{1}-{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取y₁=1，得$\overrightarrow{p}$=（1，1，2），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{q}$=（0，0，1），
設(shè)平面SCD與底面ABCD所成二面角的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{p}，\overrightarrow{q}|}{|\overrightarrow{p}|•|\overrightarrow{q}|}$=$\frac{|\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}|}{|\overrightarrow{p}|•|\overrightarrow{q}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴平面SCD與底面ABCD所成二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．