Question

14．已知等差數(shù)列{a_n}，公差d＞0，前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₂a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{S_n}{{n-\frac{1}{2}}}$，
①求證{b_n}是等差數(shù)列．
②求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n．
③求$\lim_{n→∞}{T_n}$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，解方程可得d=4，由通項(xiàng)公式和求和公式，即可得到所求；
（2）①求得b_n，再由等差數(shù)列的定義，即可得證；
②求得$\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，即可得到所求；
③運(yùn)用數(shù)列的極限：$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，即可得到所求值．

解答 解：（1）∵{a_n}是等差數(shù)列，
∴${a_1}+{a_4}={a_2}+{a_3}，由已知\left\{\begin{array}{l}{a_2}•{a_3}=45\\{a_2}+{a_3}=14\end{array}\right.且d＞0$，
∴a₂=5，a₃=9，則d=a₃-a₂=4，
故a_n=a₂+（n-2）d=4n-3，
S_n=$\frac{1}{2}$（1+4n-3）n=2n²-n；
（2）①證明：∵${b_n}=\frac{S_n}{{n-\frac{1}{2}}}=2n$，
∴b_n+1-b_n=2，即{b_n}為等差數(shù)列；
②$\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4n+4}$；
③$\lim_{n→∞}{T_n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n}{4n+4}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{4+\frac{1}{n}}$=$\frac{1}{4+0}$=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，同時(shí)考查數(shù)列的極限的運(yùn)算，屬于中檔題．