Question

設(shè)函數(shù)滿足：①對任意實數(shù)都有；②對任意，有；③不恒為0，且當時，。

（1）求，的值；

（2）判斷的奇偶性，并給出你的證明；

（3）定義：“若存在非零常數(shù)T，使得對函數(shù)定義域中的任意一個，均有，則稱為以T為周期的周期函數(shù)”。試證明：函數(shù)為周期函數(shù)，并求出

的值。

                                                                 

Answer 1

（1）由于不恒為0，故存在，使，于是令，有即。又令m=n=1,得又由得即，而由已知，故。

（2）令得：即為偶函數(shù)。

（3）由已知得，又為偶函數(shù)，有，所以為以2為周期的周期函數(shù)。

令得：即：

再令：得：。即：。

而。由此得：

又由條件（2），，，故，又是以2為周期的周期函數(shù)，故。