Question

9．已知向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx+2$\sqrt{3}$sinx，1），$\overrightarrow{n}$=（y，cosx），且$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$．
（1）將y表示為x的函數(shù)f（x），并求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若f（$\frac{B}{2}$）=3，且b=2，a+c=4，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由平面向量數(shù)量積的運算及三角函數(shù)中的恒等變換應用可得函數(shù)解析式為：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由f（$\frac{B}{2}$）=3可得sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，結合B范圍可求B，由已知及余弦定理可求ac的值，利用三角形面積公式即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，可得2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-y=0，
即有：y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．…6分
（Ⅱ）∵f（$\frac{B}{2}$）=3，
∴2sin（B+$\frac{π}{6}$）+1=3，即sin（B+$\frac{π}{6}$）=1，
又∵0＜B＜π，∴可求B=$\frac{π}{3}$，
∵b=2，a+c=4，
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，可得：4=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=16-3ac，解得：ac=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$…12分

點評 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)中的恒等變換應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了余弦定理，三角形面積公式的應用，屬于基本知識的考查．