Question

13．從某市高三數(shù)學(xué)考試成績中，隨機抽取了60名學(xué)生的成績得到頻率分布直方圖如圖：
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分；
（Ⅱ）若用分層抽樣的方法從分數(shù)在[30，50）和[130，150）的學(xué)生中共抽取3人，該3人中分數(shù)在[130，150）的有幾人？
（Ⅲ）從（Ⅱ）中抽取的3人中，隨機抽取2人，求分數(shù)在[30，50）和[130，150）各1人的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)平均數(shù)是頻率分布直方圖各個小矩形的面積×底邊中點橫坐標之和，求出本次考試的平均分；
（Ⅱ）利用頻數(shù)=頻率×樣本數(shù)，求出分數(shù)在[30，50）和[130，150]的學(xué)生人數(shù)，再按照分層抽樣的方法按比例求出3人中成績在[130，150]的有幾人？
（III）由（II）知，抽取的3人中分數(shù)在[30，50）的有2人，分數(shù)在[130，150]的有1人，問題為古典概型．

解答 解：（Ⅰ）由題意（a+2a+3a+3a+5a+6a）×20=1，∴a=0.0025
由頻率分布直方圖，得該校高三學(xué)生本次數(shù)學(xué)考試的平均分為
0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100
+0.0125×20×120+0.0025×20×140=92．
（Ⅱ）樣本中分數(shù)在[30，50）和[130，150]的學(xué)生人數(shù)分別為6人和3人，
所以抽取的3人中成績在[130，150]的有3×$\frac{3}{9}$=1人．
（III）由（II）知，抽取的3人中分數(shù)在[30，50）的有2人，記為a，b，
分數(shù)在[130，150]的有1人，記為c，從中隨機抽取2人，總的情形有（a，b），（a，c），（b，c）三種．
而分數(shù)在[30，50）和[130，150]各1人的情形為（a，c），（b，c）兩種，
故所求的概率為：P=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的基礎(chǔ)知識，分層抽樣，古典概型求解．融合了基本知識，難度不大，但是好題．