Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²+ax在x=0與x=1處的切線互相垂直．
（1）若函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{2}$lnx-bx在（0，+∞）上單調遞增，求a，b的值；
（2）設函數(shù)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}-ln（1-x），x≤0\\ f（x），x＞0\end{array}$，若方程h（x）-k（x-1）=0有四個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，由切線垂直的條件：斜率之積為-1，求得a；求得g（x）的導數(shù)，由恒成立思想，可得b的值；
（2）畫出y=h（x）與y=k（x-1）的圖象，求出相切的情況，求得k的值，結合圖象觀察即可得到k的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=2x+a，∴f′（0）f′（1）=-1，即a（a+2）=-1，a=-1；
g（x）=x²-x+$\frac{2}$lnx-bx，g′（x）=2x-1+$\frac{2x}$-b≥0在x＞0上恒成立，即（2x-1）（1-$\frac{2x}$）≥0，
當x≥$\frac{1}{2}$時，b≤2x，即b≤1；當0＜x≤$\frac{1}{2}$時，b≥2x，即b≥1，故b=1．（6分）
（2）y=h（x）與y=k（x-1）有四個交點．
如圖，設直線y=k（x-1）與曲線y=-ln（1-x）切于（x₀，-ln（1-x₀）），
則k=-$\frac{-1}{{1-{x_0}}}$=$\frac{1}{{1-{x_0}}}$，
∴-ln（1-x₀）=$\frac{1}{{1-{x_0}}}$（x₀-1）=-1，$\frac{1}{{1-{x_0}}}$=$\frac{1}{e}$，
由圖可得k∈（0，$\frac{1}{e}$）．（12分）

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調性，考查函數(shù)方程的轉化思想的運用，以及數(shù)形結合的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．