Question

已知y=f（x）是二次函數(shù)，方程f（x）=0有兩相等實根，且f′（x）=2x+2
（1）求f（x）的解析式．
（2）求函數(shù)y=f（x）與y=-x²-4x+1所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）用待定系數(shù)法設(shè)出解析式，據(jù)△=0，和f′（x）=2x+2確定結(jié)果．
（2）利用定積分求曲邊圖形面積，找準(zhǔn)積分區(qū)間和被積函數(shù)．

解答：解：（1）∵y=f（x）是二次函數(shù)，且f'（x）=2x+2．∴可設(shè)f（x）=x²+2x+c．
又∵方程f（x）=0有兩個相等實根，
∴△=4-4c=0⇒c=1，
∴f（x）=x²+2x+1
（2）∵函數(shù)f（x）=x²+2x+1與函數(shù)y=-x²-4x+1的圖象交于點（0，1），（-3，4），
∴兩函數(shù)圖象所圍成的圖形的面積為S=

∫

0 -3

(-x2-4x+1-x2-2x-1)dx=

∫

0 -3

(-2x2-6x)dx=(-

2

3

x3-3x2)

.

0 -3

=9．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用定積分求曲邊圖形面積．在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積的四個步驟：1．作圖象；2．求交點；3．用定積分表示所求的面積；4．微積分基本定理求積分