Question

已知集合M={y|y=

x2+kx+1

x2+x+1

}任取a，b，c∈M以a，b，c為長(zhǎng)度的線段都能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：集合

分析：由x2+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

＞0恒成立，可得f（x）=

x2+kx+1

x2+x+1

＞0?x²+kx+1＞0?△=k²-4＜0，解得-2＜k＜2．當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=1＞0恒成立；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=1+

k-1

x+ 1 x +1

，對(duì)k分類討論，利用基本不等式的性質(zhì)和三角形三邊大小關(guān)系即可得出．對(duì)x＜0同樣得出．

解答： 解：∵x2+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

＞0恒成立，∴f（x）=

x2+kx+1

x2+x+1

＞0?x²+kx+1＞0?△=k²-4＜0，解得-2＜k＜2．
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=1＞0恒成立；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=1+

k-1

x+ 1 x +1

，當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=1，滿足題意；
當(dāng)2＞k＞1時(shí)，1＜f（x）≤1+

k-1

3

，由1+1＞1+

k-1

3

解得k＜4，∴1＜k＜2；
當(dāng)-2＜k＜1時(shí)，

2+k

3

≤f(x)＜1，由2×

2+k

3

＞1，解得k＞-

1

2

．
綜上當(dāng)x＞0時(shí)，-

1

2

＜k＜2．
同理當(dāng)x＜0時(shí)，可得-

1

2

＜k＜2．
故答案為：-

1

2

＜k＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與判別式的關(guān)系、一元二次不等式的解法、組成三角形三邊的大小關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．