Question

已知函數(shù)f（x）=x²-ln x．
（1）求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得x＞0，f（1）=1，f′(x)=2x-

1

x

，k=f′（1）=2-1=1，由此能求出曲線f（x）在x=1處的切線方程．（2）x∈[1，e]時(shí)，f′（x）＞0，從而函數(shù)f（x）在[1，e]是增函數(shù)，由此能求出函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-ln x，
∴x＞0，f（1）=1，f′(x)=2x-

1

x

，
k=f′（1）=2-1=1，
∴曲線f（x）在x=1處的切線方程為：
y-1=x-1，整理，得：y=x．
（2）∵x＞0，f′(x)=2x-

1

x

，
∴x∈[1，e]時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在[1，e]是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值為f（e）=e²-lne=e²-1，
最小值為f（1）=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線在某點(diǎn)處切線方程的求法，考查函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．