Question

10．如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，D是棱AA₁上的任一點，M，N分別為AB，BC₁的中點．
（1）求證：MN∥平面DCC₁；
（2）試確定點D的位置，使得DC₁⊥平面DBC．

Answer 1

分析 （1）連接AC₁，由中位線定理即可得出MN∥AC₁，故而MN∥平面DCC₁；
（2）由BC⊥平面ACC₁A₁可得BC⊥C₁D，故當C₁D⊥CD時有DC₁⊥平面DBC，設(shè)AD=x，根據(jù)勾股定理列方程解出x，從而確定D的位置．

解答 證明：（1）連接AC₁，
∵M，N分別是AB，BC₁的中點，
∴MN∥AC₁，
又MN?平面ACC₁A₁，AC₁?平面ACC₁A₁，
∴MN∥平面ACC₁A₁．
即MN∥平面DCC₁．
（2）∵CC₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC，
又AC⊥BC，AC?平面ACC₁A₁，CC₁?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，∵C₁D?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥C₁D．
故當C₁D⊥CD時，C₁D⊥平面BCD．
設(shè)AD=x，則A₁D=4-x，CD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，C₁D=$\sqrt{{A}_{1}{D}^{2}+{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{（4-x）^{2}+4}$．
又CC₁=4，
∴CD²+C₁D²=CC₁²，即x²+4+（4-x）²+4=16．解得x=2．
∴D為AA₁中點時，C₁D⊥平面BCD．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，屬于中檔題．