Question

（2013•徐州三模）已知函數(shù)f(x)=

C

0 n

x2n-1-

C

1 n

x2n-2+

C

2 n

x2n-3-…+

C

r n

(-1)rx2n-1-r+…+

C

n n

(-1)nxn-1，n∈N^*．
（1）當n≥2時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）是否存在等差數(shù)列{a_n}，使得a1

C

0 n

+a2

C

1 n

+…+an+1

C

n n

=nf(2)對一切n∈N^*都成立？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用二項式定理化簡f（x），再求出其導函數(shù)f'（x），利用導函數(shù)值的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在等差數(shù)列{a_n}，結(jié)合組合數(shù)和性質(zhì)得到a₁+a_n+1=n，再分別令n=1，n=2，得a₁+a₂=1且a₁+a₃=2，進一步可得滿足題設(shè)的等差數(shù)列{a_n}的通項公式，故存在等差數(shù)列{b_n}，滿足條件．

解答：解：（1）f(x)=xn-1[

C

0 n

xn-

C

1 n

xn-1+

C

2 n

xn-2-…+

C

r n

(-1)rxn-r+…+(-1)n

C

n n

]=x^n-1（x-1）ⁿ，f'（x）=（n-1）x^n-2（x-1）ⁿ+x^n-1•n（x-1）^n-1=x^n-2（x-1）^n-1[（n-1）（x-1）+nx]，
令f'（x）=0得x1=0，x2=

n-1

2n-1

，x3=1，
因為n≥2，所以x₁＜x₂＜x₃．…（2分）
當n為偶數(shù)時f（x）的增減性如下表：

x	（-∞，0）	0	(0， n-1 2n-1 )	n-1 2n-1	( n-1 2n-1 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	+	0	-	0	+
f（x）	↗	無極值	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以當x=

n-1

2n-1

時，y極大

(n-1)n-1•(-n)n

(2n-1)2n-1

；當x=1時，y_極小=0．…（4分）
當n為奇數(shù)時f（x）的增減性如下表：

x	（-∞，0）	0	(0， n-1 2n-1 )	n-1 2n-1	( n-1 2n-1 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗	無極值	↗

所以x=0時，y_極大=0；當x=

n-1

2n-1

時，y極小=

(n-1)n-1•(-n)n

(2n-1)2n-1

．…（6分）
（2）假設(shè)存在等差數(shù)列{a_n}使a1

C

0 n

+a2

C

1 n

+a3

C

2 n

+…+an+1

C

n n

=n•2n-1成立，
由組合數(shù)的性質(zhì)

C

m n

=

C

n-m n

，
把等式變?yōu)?span id="nnhvplt" class="MathJye">an+1

C

0 n

+an

C

1 n

+an-1

C

2 n

+…+a1

C

n n

=n•2n-1，
兩式相加，因為{a_n}是等差數(shù)列，所以a₁+a_n+1=a₂+a_n=a₃+a_n-1=…=a_n+1+a₁，
故(a1+an+1)(

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

)=n•2n，
所以a₁+a_n+1=n． …（8分）
再分別令n=1，n=2，得a₁+a₂=1且a₁+a₃=2，
進一步可得滿足題設(shè)的等差數(shù)列{a_n}的通項公式為an=n-1(n∈N*)．…（10分）

點評：本題主要考查二項式定理，等差數(shù)列的通項公式，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)這一章最基本的知識，學生應(yīng)熟練掌握．