Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，當(dāng)x＞0時，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0恒成立，則不等式f（x）＞0的解集是（　�。�

• A、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• B、（-2，0）∪（0，2）
• C、（-2，0）∪（2，+∞）
• D、（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：因?yàn)?span id="vspc0o6" class="MathJye">

xf′(x)-f(x)

x2

＞0恒成立，；然后利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，可判斷函數(shù)y═

f(x)

x

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）內(nèi)的正負(fù)性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖象特征，可得f（x）在（-∞，0）內(nèi)的正負(fù)性．則解集即可求得．

解答： 解：當(dāng)x＞0時，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，即有y=

f(x)

x

在區(qū)間（0．+∞）上單調(diào)遞增，且

f(2)

2

=0，
所以當(dāng)0＜x＜2時，f（x）＜0，
當(dāng)x＞2時，f（x）＞0，
根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
得到x＜-2時，f（x）＜0，
-2＜x＜0時，f（x）＞0．
綜上所述，當(dāng)x＞2或者-2＜x＜0時，f（x）＞0，
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，同時考查了奇偶函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．