Question

13．用數(shù)學(xué)歸納法證明：3⁴ⁿ⁺²+5²ⁿ⁺¹（n∈N）能被14整除．

Answer 1

分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)當(dāng)n=0時(shí)，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)結(jié)合因式的配湊法，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．

解答 證明：（1）當(dāng)n=0時(shí)，3²+5¹=14能被14整除
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，3^4K+2+5^2K+1能被14整除，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
3^4（k+1）+2+5^2（k+1）+1=3⁴（3^4k+2+5^2k+1）-56•5^2k+1．
∵56•5^2k+1能被14整除，3^4K+2+5^2K+1能被14整除，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立
由①②知，當(dāng)n∈N時(shí)，3⁴ⁿ⁺²+5²ⁿ⁺¹能被14整除

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基），2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．