Question

6．已知函數(shù)f（x）=2cos²x-2sin（x+$\frac{3}{2}$π）cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{3}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移$\frac{\sqrt{3}}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，求當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)f（x）；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象平移法則，得出函數(shù)g（x）的解析式，
求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)函數(shù)g（x）的值域即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2cos²x-2sin（x+$\frac{3}{2}$π）cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{3}{2}$
=2•$\frac{1+cos2x}{2}$+2cosx（cosxcos$\frac{π}{3}$+sinxsin$\frac{π}{3}$）-$\frac{3}{2}$
=1+cos2x+cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{3}{2}$
=1+cos2x+$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{3}{2}$
=$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{7π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{7π}{12}$+kπ]，k∈Z；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度，
得y=$\sqrt{3}$sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象；
再向上平移$\frac{\sqrt{3}}{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度，
得y=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$的圖象；
∴函數(shù)g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]；
∴$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]，
∴$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$∈[$\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]，
即函數(shù)g（x）的值域是[$\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．