Question

（2013•普陀區(qū)二模）對(duì)于任意的n∈N^*，若數(shù)列{a_n}同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱數(shù)列{a_n}具有“性質(zhì)m”：
①

an+an+2

2

＜an+1；   ②存在實(shí)數(shù)M，使得a_n≤M成立．
（1）數(shù)列{a_n}、{b_n}中，a_n=n、bn=2sin

nπ

6

（n=1，2，3，4，5），判斷{a_n}、{b_n}是否具有“性質(zhì)m”；
（2）若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且c3=

1

4

，S3=

7

4

，證明：數(shù)列{S_n}具有“性質(zhì)m”，并指出M的取值范圍；
（3）若數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式dn=

t (3•2n-n)+1

2n

（n∈N^*）．對(duì)于任意的n≥3（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列{a_n}具有“性質(zhì)m”的條件對(duì)a_n=n、b_n=2sin

nπ

6

≤2（n=1，2，3，4，5）判斷即可；
（2）數(shù)列{c_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，則公比q＞0，將c₃=

1

4

代入S₃=

c3

q2

+

c3

q

+c₃=

7

4

可求得q，從而可求得c₁=1，c_n=

1

2n-1

及S_n=2-

1

2n-1

，分析驗(yàn)證即可；
（3）由于d_n=3t-

tn-1

2n

，可求得d_n+1=3t-

t(n+1)-1

2n+1

，d_n+2=3t-

t(n+2)-1

2n+2

，利用任意n∈[3，+∞]且n∈N^*，數(shù)列{d_n}具有“性質(zhì)m”，由d_n+d_n+2＜2d_n+1可求得t＞1，可判斷n≥3時(shí)，數(shù)列{d_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，且

lim

n→∞

dn=

lim

n→∞

（3t-

tn-1

2n

）=3t，從而可求得t≤3，于是有1＜t≤3，經(jīng)檢驗(yàn)t=2不合題意，于是得到答案．

解答：解：（1）在數(shù)列{a_n}中，取n=1，則

a1+a3

2

=2=a₂，不滿足條件①，所以數(shù)列{a_n}不具有“m性質(zhì)”；…（2分）
在數(shù)列{b_n}中，b₁=1，b₂=

3

，b₃=2，
b₄=

3

，b₅=1，
則b₁+b₃=3＜2

3

=2b₂，
b₂+b₄=2

3

＜4=2b₃，
b₃+b₅=3＜2

3

=2b₄，所以滿足條件①；
b_n=2sin

nπ

6

≤2（n=1，2，3，4，5）滿足條件②，所以數(shù)列{b_n}具有“性質(zhì)m”．…（4分）
（2）因?yàn)閿?shù)列{c_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，則公比q＞0，
將c₃=

1

4

代入S₃=

c3

q2

+

c3

q

+c₃=

7

4

得，6q²-q-1=0，
解得q=

1

2

或q=-

1

3

（舍去），…（6分）
所以c₁=1，c_n=

1

2n-1

，
S_n=2-

1

2n-1

…（7分）
對(duì)于任意的n∈N^*，

Sn+Sn+2

2

=2-

1

2n

-

1

2n+2

＜2-

1

2n

=S_n+1，且S_n＜2…（8分）
所以數(shù)列數(shù)列{S_n}具有“m性質(zhì)”…（9分）且M≥2．…（10分）
（3）由于d_n=3t-

tn-1

2n

，則d_n+1=3t-

t(n+1)-1

2n+1

，d_n+2=3t-

t(n+2)-1

2n+2

，
由于任意n∈[3，+∞]且n∈N^*，數(shù)列{d_n}具有“性質(zhì)m”，所以d_n+d_n+2＜2d_n+1
即

tn-1

2n

+

t(n+2)-1

2n+2

＞2×

t(n+1)-1

2n+1

，化簡(jiǎn)得，t（n-2）＞1…（12分）
即t＞

1

n-2

對(duì)于任意n∈[3，+∞）且n∈N^*恒成立，所以t＞1…①…（14分）
d_n+1-d_n=

tn-1

2n

-

t(n+1)-1

2n+1

=

t(n-1)-1

2n+1

由于n≥3及①，所以d_n+1＞d_n
即n≥3時(shí)，數(shù)列{d_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，且

lim

n→∞

dn=

lim

n→∞

（3t-

tn-1

2n

）=3t…（16分）
只需3t≤9，解得t≤3…②…（17分）
由①②得1＜t≤3，所以滿足條件的整數(shù)t的值為2和3．
經(jīng)檢驗(yàn)t=2不合題意，舍去，滿足條件的整數(shù)只有t=3…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查理解新概念與分析運(yùn)算能力，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查創(chuàng)新思維與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．