Question

8．某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如表（假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會(huì)超過(guò)300）：

空氣質(zhì)量指數(shù)	（0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]
空氣質(zhì)量等級(jí)	1級(jí)優(yōu)	2級(jí)良	3級(jí)輕度 污染	4級(jí)中度 污染	5級(jí)重度 污染	6級(jí)嚴(yán)重污染

該社團(tuán)將該校區(qū)在2016年100天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本，繪制的頻率分布直方圖如下圖，把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率．
（Ⅰ）請(qǐng)估算2017年（以365天計(jì)算）全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)（未滿一天按一天計(jì)算）；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法共抽取10天，則空氣質(zhì)量指數(shù)在（0，50]，（50，100]，（100，150]的天數(shù)中各應(yīng)抽取幾天？
（Ⅲ）已知空氣質(zhì)量等級(jí)為1級(jí)時(shí)不需要凈化空氣，空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)時(shí)每天需凈化空氣的費(fèi)用為2000元，空氣質(zhì)量等級(jí)為3級(jí)時(shí)每天需凈化空氣的費(fèi)用為4000元．若在（Ⅱ）的條件下，從空氣質(zhì)量指數(shù)在（0，150]的天數(shù)中任意抽取兩天，求這兩天的凈化空氣總費(fèi)用為4000元的概率．

Answer 1

分析 （I）利用頻率直方圖的性質(zhì)可得頻率（0.1+0.2），進(jìn)而得出全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為．
（Ⅱ）利用分層抽樣的方法即可得出．
（Ⅲ）設(shè)空氣質(zhì)量指數(shù)在（0，50]的一天為A，空氣質(zhì)量指數(shù)在（50，100]的兩天為b、c，空氣質(zhì)量指數(shù)在（100，150]的三天為1、2、3．可得從六天中隨機(jī)抽取兩天的所有可能結(jié)果為共15種．其中這兩天的凈化空氣總費(fèi)用為4000元的可能結(jié)果為（A1），（A2），（A3），（bc）．利用古典概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由直方圖可估算2017年（以365天計(jì)算）全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)為
（0.1+0.2）×365=0.3×365=109.5≈110（天）．         …（3分）
（Ⅱ）在（0，50]，（50，100]，（100，150]的頻率分別為0.1，0.2，0.3，因此在各個(gè)區(qū)間的天數(shù)中各應(yīng)
抽取1，2，3天．  …（6分）
（Ⅲ）設(shè)空氣質(zhì)量指數(shù)在（0，50]的一天為A，空氣質(zhì)量指數(shù)在（50，100]的兩天為b、c，空氣質(zhì)量指數(shù)在（100，150]的三天為1、2、3．
則從六天中隨機(jī)抽取兩天的所有可能結(jié)果為（Ab），（Ac），（A1），（A2），（A3），（bc），（b1），（b2），（b3），（c1），（c2），（c3），（12），（13），（23）．共15種．
其中這兩天的凈化空氣總費(fèi)用為4000元的可能結(jié)果為（A1），（A2），（A3），（bc）．
P（這兩天的凈化空氣總費(fèi)用為4000元）=$\frac{4}{15}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式、列舉法、分層抽樣方法、頻率分布直方圖的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．