Question

16．已知$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$為直角坐標(biāo)平面xOy內(nèi)x，y軸正方向上的單位向量，$\overrightarrow{a}$=（x+1）$\overrightarrow{i}$+y$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow$=（x-1）$\overrightarrow{i}$+y$\overrightarrow{j}$（x，y∈R），且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|=6
（Ⅰ）求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（0，1）作直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$，是否存在直線l，使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將兩向量的模用坐標(biāo)表示出來(lái)，探究發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離和為6，符合橢圓的定義．用定義法寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
（Ⅱ）先把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求出關(guān)于點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)的方程①，在利用OAPB為矩形轉(zhuǎn)化為OA⊥OB既為$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．把①式代入就可求直線AB的方程．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{a}$=（x+1）i+yj，$\overrightarrow$=（x-1）i+yj
又|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|=4，∵$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}=6$．
∴點(diǎn)M（x，y）的軌跡C是以（-1，0）、（1，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，
故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$．
（Ⅱ）由條件（2）可知OAB不共線，故直線AB的斜率存在，
設(shè)AB方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$⇒（9k²+8）x²+18kx-63=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-18k}{9{k}^{2}+8}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-63}{9{k}^{2}+8}$
y₁•y₂=（kx₁+1）•（kx₂+1）=k²x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=$\frac{-72{k}^{2}+8}{9{k}^{2}+8}$
∵OAPB為矩形，∴OA⊥OB⇒$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0得72k²=-55，方程無(wú)解，
∴不存在直線l，使得四邊形OAPB是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及向量垂直問題．在研究直線和圓錐曲線問題時(shí)，通常把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，找到關(guān)于二者交點(diǎn)坐標(biāo)的方程，再代入已知條件解題．屬于中檔題．