【題目】(原創(chuàng),較難)橢圓的左右焦點分別為,與y軸正半軸交于點B,若為等腰直角三角形,且直線被圓所截得的弦長為2.
(1)求橢圓的方程;(2)直線l與橢圓交于點A、C,線段AC的中點為M,射線MO與橢圓交于點P,點O為重心,探求面積是否為定值,若是求出這個值,若不是求的取值范圍
【答案】(1) .
(2) 面積為定值.
【解析】
分析:(1)由為等腰直角三角形可得,由直線:被圓所截得的弦長為2,可得,,從而可得橢圓的方程;(2)設直線的方程為,設,,聯(lián)立,利用韋達定理、結(jié)合重心坐標公式求出點坐標,代入橢圓方程可得,利用弦長公式、點到直線距離公式以及三角形面積公式可得的面積為,化簡可得結(jié)果.
詳解:(1)由為等腰直角三角形可得,直線:被圓所截得的弦長為2,所以,,所以橢圓的方程為.
(2)若直線的斜率不存在,則.
若直線的斜率存在,設直線的方程為,設,,
即則,,,
由題意點為重心,設,則,,
所以,,代入橢圓,得
,整理得,
設坐標原點到直線的距離為,則的面積
.
綜上可得的面積為定值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】關于曲線C:,給出下列五個命題:
①曲線C關于直線y=x對稱;
②曲線C關于點對稱;
③曲線C上的點到原點距離的最小值為;
④當時,曲線C上所有點處的切線斜率為負數(shù);
⑤曲線C與兩坐標軸所圍成圖形的面積是.
上述命題中,為真命題的是_____.(將所有真命題的編號填在橫線上)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的導函數(shù)為,且對任意的實數(shù)都有(是自然對數(shù)的底數(shù)),且,若關于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù),則實數(shù)的取值范圍是
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了了解四川省各景點在大眾中的熟知度,隨機對歲的人群抽樣了人,回答問題“四川省有哪幾個著名的旅游景點?”統(tǒng)計結(jié)果如表.
組號 | 分組 | 回答正確的人數(shù) | 回答正確的人數(shù) 占本組的頻率 |
第組 |
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第組 |
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第組 |
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第組 |
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第組 |
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(1)分別求出的值;
(2)從第,,組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取人,求第,,組每組各抽取多少人?
(3)通過直方圖求出年齡的眾數(shù),平均數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,圓的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),圓與圓外切于原點,且兩圓圓心的距離,以坐標原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求圓和圓的極坐標方程;
(2)過點的直線與圓異于點的交點分別為點,與圓異于點的交點分別為點,且,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,曲邊三角形中,線段是直線的一部分,曲線段是拋物線的一部分.矩形的頂點分別在線段,曲線段和軸上.設點,記矩形的面積為.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式并指明定義域;
(Ⅱ)求函數(shù)的最大值.
【答案】(Ⅰ) 定義域為;(Ⅱ) 在時,取得最大值.
【解析】試題分析:( I )根據(jù)點在直線上,在拋物線上,結(jié)合圖形,可得點,從而可得函數(shù)的解析式,聯(lián)立直線與拋物線的方程,即可求得定義域;(II)對函數(shù)求導,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而可求得函數(shù)的最大值.
試題解析:( I )令,
解得 (舍)
因為點
所以 ,
其定義域為
(II)因為
令,得,(舍)
所以的變化情況如下表
0 | |||
極大 |
因為是函數(shù)在上的唯一的一個極大值,
所以在時,函數(shù)取得最大值.
點睛:利用導數(shù)解答函數(shù)最值的一般步驟:第一步:利用或求單調(diào)區(qū)間;第二步:解得兩個根;第三步:比較兩根同區(qū)間端點的大;第四步:求極值;第五步:比較極值同端點值的大。
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】在各項均為正數(shù)的數(shù)列中, 且.
(Ⅰ)當時,求的值;
(Ⅱ)求證:當時,.
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