Question

設直線l：mx+ny-1=0（m，n∈R⁺）與x軸相交于點A，與y軸相交于B，且l與圓x²+y²=19相交所得弦的長為2，O為坐標原點，求△AOB面積的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：根據直線l方程求出A與B坐標，根據弦長為2，圓心到直線的距離為d，錄用垂徑定理及勾股定理求出d的值，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，列出關于m與n的關系式，利用基本不等式求出mn的最小值，進而確定出三角形AOB面積的最小值，以及此時m與n的值，即可確定出此時直線l的方程．
解答：解：由題設可知，直線l與兩坐標軸的交點坐標為A（0，），B（，0），
∵直線l與圓相交所得的弦長為2，圓心到直線的距離d，
∴d²=r²-1²=19-1=18，
∴d=3，即圓心（0，0）到直線mx+ny=1的距離d==3，
∴m²+n²=，
∵m，n∈R⁺，∴三角形的面積為S_△AOB=，
又m²+n²≥2mn＞0，∴≥≥18，
當且僅當m=n=時取等號，∴（S_△AOB）_min=18，
此時直線l的方程為x+y-6=0．
點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，基本不等式的運用，以及一次函數與坐標軸的交點，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．