設(shè)直線l:mx+ny-1=0(m,n∈R+)與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于B,且l與圓x2+y2=19相交所得弦的長(zhǎng)為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程.
分析:根據(jù)直線l方程求出A與B坐標(biāo),根據(jù)弦長(zhǎng)為2,圓心到直線的距離為d,錄用垂徑定理及勾股定理求出d的值,利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d,列出關(guān)于m與n的關(guān)系式,利用基本不等式求出mn的最小值,進(jìn)而確定出三角形AOB面積的最小值,以及此時(shí)m與n的值,即可確定出此時(shí)直線l的方程.
解答:解:由題設(shè)可知,直線l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,
1
n
),B(
1
m
,0),
∵直線l與圓相交所得的弦長(zhǎng)為2,圓心到直線的距離d,
∴d2=r2-12=19-1=18,
∴d=3
2
,即圓心(0,0)到直線mx+ny=1的距離d=
|-1|
m2+n2
=3
2
,
∴m2+n2=
1
18
,
∵m,n∈R+,∴三角形的面積為S△AOB=
1
2mn
,
又m2+n2≥2mn>0,∴
1
2mn
1
m2+n2
≥18,
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=
1
6
時(shí)取等號(hào),∴(S△AOBmin=18,
此時(shí)直線l的方程為x+y-6=0.
點(diǎn)評(píng):此題考查了直線與圓相交的性質(zhì),涉及的知識(shí)有:垂徑定理,勾股定理,點(diǎn)到直線的距離公式,基本不等式的運(yùn)用,以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
6
3
,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離為
3
,
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l:mx+ny=0(m,n∈R)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),求△AFB面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•東莞一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線QA1,QA2分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點(diǎn)M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

我們知道,直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別,那么直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎?請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面的問(wèn)題.
(1)設(shè)F1、F2是橢圓M:
x2
25
+
y2
9
=1
的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線l:
2
x-y
+
5
=0
的距離分別為d1、d2,試求d1•d2的值,并判斷直線l與橢圓M的位置關(guān)系.
(2)設(shè)F1、F2是橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)F1、F2到直線l:mx+ny+p=0(m、n不同時(shí)為零)的距離分別為d1、d2,且直線l與橢圓M相切,試求d1•d2的值.
(3)試寫出一個(gè)能判斷直線與橢圓的相交、相離位置關(guān)系的充要條件(不必證明).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年廣東省東莞市南城中學(xué)高三(下)開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)直線l:mx+ny-1=0(m,n∈R+)與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于B,且l與圓x2+y2=19相交所得弦的長(zhǎng)為2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程.

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