Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)的距離之和為4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線y=kx+1與C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）寫出C的方程；
（2）若，求k的值；
（3）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)k＞0時(shí)，恒有．

Answer 1

【答案】分析：說明：本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問題的能力．
解答：解：
（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸，
故曲線C的方程為．（3分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故．（5分）
若，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是，
化簡(jiǎn)得-4k²+1=0，所以．（8分）
（Ⅲ）因?yàn)锳（x₁，y₁）在橢圓上，所以滿足y²=4（1-x²），y₁²=4（1-x₁²），=（x₁²-x₂²）+4（1-x₁²-1+x₂²）=-3（x₁-x₂）（x₁+x₂）=．
因?yàn)锳在第一象限，故x₁＞0．由知x₂＜0，從而x₁-x₂＞0．又k＞0，
故，
即在題設(shè)條件下，恒有．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的運(yùn)用以及直線與橢圓的位置關(guān)系，難點(diǎn)在與計(jì)算量較大，平時(shí)應(yīng)加大訓(xùn)練的力度與方向性．