Question

在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸正半軸為始邊的兩個(gè)銳角α、β，它們的終邊分別交單位圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）若A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是

10

10

和

2 5

5

，求sin（α+β）
（2）若cosα+cosβ=

3

2

，sinα+sinβ=1，求cos（α-β）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）先利用平方關(guān)系求得sinα和sinβ的值，最后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式求得答案．
（2）對(duì)已知等式分別兩邊平方，再相加，即可求得cos（α-β）的值．

解答： 解：（1）由題意cosα=

10

10

，cosβ=

2 5

5

，且α、β為銳角，
∴sinα=

1-cos2α

=

3 10

10

，sinβ=

1-cos2β

=

5

5

，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

3 10

10

×

2 5

5

+

10

10

×

5

5

=

7 2

10

．
（2）∵cosα+cosβ=

3

2

，sinα+sinβ=1，
∴分別兩邊平方得cos²α+2cosαcosβ+cos²β=

9

4

，sin²α+2sinαsinβ+sin²β=1，
兩式相加得1+2cos（α-β）+1=

13

4

，
∴cos（α-β）=

5

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用．對(duì)于三角函數(shù)中平方關(guān)系的三角函數(shù)應(yīng)熟練記憶和應(yīng)用．