Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx，a∈R．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若方程f（x）=0在區(qū)間[

2

，e]上有且只有一個解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把a=2代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式得到單調(diào)區(qū)間，從而求出極值，
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分別討論①a≤0時②a＞0時的情況，從而求出單調(diào)區(qū)間，
（3）將問題轉(zhuǎn)化為：方程a=

x2

lnx

在區(qū)間[

2

，e]上有且只有一個解，令g（x）=

x2

lnx

，則g′（x）=

x(2lnx-1)

(lnx)2

，從而解決問題．

解答： 解：（1）a=2時，f（x）=x²-2lnx，x＞0，
∴f′（x）=

2(x2-1)

x

，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，x＜-1（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴x=1時，f（x）取到極小值f（1）=1，
（2）∵f′（x）=

2x2-a

x

，x＞0，
①a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
②a＞0時，
令f′（x）＞0，解得：x＞

a 2

，x＜-

a 2

（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

a 2

，
∴f（x）在（0，

a 2

）遞減，在（

a 2

，+∞）遞增；
綜上：a≤0時，f（x）在（0，+∞）遞增
a＞0時，f（x）在（0，

a 2

）遞減，在（

a 2

，+∞）遞增；
（3）由題意得：方程a=

x2

lnx

在區(qū)間[

2

，e]上有且只有一個解，
令g（x）=

x2

lnx

，則g′（x）=

x(2lnx-1)

(lnx)2

，
令g′（x）=0，解得：x=

e

，
∴g（x）在（

2

，

e

）上遞減，在（

e

，e）遞增，
又g（

2

）=

4

ln2

＜g（e）=e²，
∴方程a=

x2

lnx

在區(qū)間[

2

，e]上有且只有一個解時，
有

4

ln2

＜a≤e²，或a=2e，
∴實數(shù)a的取值范圍時：{a|

4

ln2

＜a≤e²或a=2e}．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，參數(shù)的范圍，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．