Question

18．若動直線x=t（t∈R）與函數(shù)f（x）=cos²（$\frac{π}{4}$-x），g（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$+x）的圖象分別交于P、Q兩點，則線段PQ長度的最大值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡f（x）和g（x），|PQ|=|f（t）-g（t）|，即求=|f（t）-g（t）|的最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos²（$\frac{π}{4}$-x）=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{2}-2x$）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$；
函數(shù)g（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x．
由題意，|PQ|=|f（t）-g（t）|，即|PQ|=$\frac{1}{2}$sin2t+$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2t|=|sin（2t-$\frac{π}{3}$）$+\frac{1}{2}$|．
當(dāng)sin（2t-$\frac{π}{3}$）取得最大值時，可得|PQ|的最大值．
∴|PQ|的最大值為1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的二倍角公式化簡計算能力和三角函數(shù)圖象性質(zhì)的運用，屬于中檔題．