Question

18．設數列{a_n}滿足${a_1}=2，{a_{n+1}}=a_n^2-n{a_n}+1，n∈{N^*}$．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）由（ 1）猜想a_n的一個通項公式，并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據已知中數列{a_n}滿足${a_1}=2，{a_{n+1}}=a_n^2-n{a_n}+1，n∈{N^*}$．令n=1，2，3可得a₂，a₃，a₄；
（2）由（ 1）猜想a_n=n+1，利用數學歸納法可證得結論．

解答 解：（1）∵數列{a_n}滿足${a_1}=2，{a_{n+1}}=a_n^2-n{a_n}+1，n∈{N^*}$．
∴${a}_{2}={a}_{1}^{2}-{a}_{1}+1$=3；
${a}_{3}={a}_{2}^{2}-2{a}_{2}+1$=4；
${a}_{4}={a}_{3}^{2}-3{a}_{3}+1$=5；
（2）由（ 1）猜想a_n=n+1，用數學歸納法證明如下：
當n=1時，左邊=a₂=3，
右邊=${a}_{1}^{2}-{a}_{1}+1$=2²-2+1=3，
滿足條件；
假設n=k時，滿足條件，則${a}_{k+1}={a}_{k}^{2}-k{a}_{k}+1$，
即k+2=（k+1）²-k（k+1）+1，
則n=k+1時，左邊=（k+1）+2=k+3，
右邊=（k+2）²-（k+1）（k+2）+1=k+2+1=k+3，滿足條件，
綜上a_n=n+1滿足條件．

點評 本題考查的知識點是歸納推理，數學歸納法，數列通項公式的求解．