Question

8．已知P（x，y）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1上任意一點，F(xiàn)₁是雙曲線的左焦點，O是坐標原點，則$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$的最小值是4-2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先算出$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$的表達式，根據(jù)x的取值范圍，求出$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$的最值．

解答 解：由已知可得：F₁的坐標為（-$\sqrt{5}$，0），
設(shè)P（x，y），
則$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-x，-y）•（-$\sqrt{5}$-x，-y）=x²+$\sqrt{5}$x+y²=x²+$\sqrt{5}$x+$\frac{{x}^{2}}{4}-1$=$\frac{5}{4}$x²+$\sqrt{5}$x-1=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+1）²-2，x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）．
∴當(dāng)x=-2時，$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{P{F}_{1}}$的最小值為：4-2$\sqrt{5}$，
故答案為：4-2$\sqrt{5}$

點評 本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積，函數(shù)的值域，是中檔題．