【題目】已知為坐標原點,設動點.
(1)當時,若過點的直線與圓:相切,求直線的方程;
(2)當時,求以為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程;
(3)當時,設,過點作的垂線,與以為直徑的圓交于點,垂足為,試問:線段的長是否為定值?若為定值,求出這個定值;若不為定值,請說明理由.
【答案】(1)或;(2);(3)的長為定值為.
【解析】試題分析: (1)圓C:x2+y2﹣8x=0化為(x﹣4)2+y2=16,得到圓心C(4,0),半徑r=4,分類討論即可求直線l的方程;
(2)設出以OM為直徑的圓的方程,變?yōu)闃藴史匠毯笳页鰣A心坐標和圓的半徑,由以OM為直徑的圓被直線3x﹣4y﹣5=0截得的弦長,過圓心作弦的垂線,根據(jù)垂徑定理得到垂足為中點,由弦的一半,半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構成直角三角形,利用點到直線的距離公式表示出圓心到3x﹣4y﹣5=0的距離d,根據(jù)勾股定理列出關于t的方程,求出方程的解即可得到t的值,即可確定出所求圓的方程;
(3)由于∽,∴,直線的方程為,求出,把前面得到的關系式代入即可求出線段ON的長,從而得到線段ON的長為定值.
試題解析:
(1)解:依題意,
將圓:化為標準方程為:,
則圓心,半徑為,
∵直線過點,
∴當斜率不存在時,直線的方程為,符合題意;
當斜率存在時,設過點的直線的方程為,即.
∵直線與圓相切,
∴圓心到直線的距離為4,
即,解得,
∴,即,
綜上可得,所求直線的方程為或.
(2)依題意得,(),
∴以為直徑的圓圓心為,半徑為,
∴圓的方程為,
∵以為直徑的圓被直線截得的弦長為2,
∴圓心到直線的距離為
,
∴,解得.
∴圓心為,半徑為,
∴所求圓的方程為.
(3)的長為定值.
理由如下:
依題意得()
由于∽,
則,即,
∵直線的方程為,即
∴由點到直線的距離公式得,
又由兩點間的距離公式得,
∴,
∴,
∴的長為定值為.
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【題目】設函數(shù), .
(Ⅰ)若曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線,求, 的值;
(Ⅱ)當時,若函數(shù)在區(qū)間內恰有兩個零點,求的取值范圍;
(Ⅲ)當時,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
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【題目】矩形紙片ABCD中,AB=10cm,BC=8cm.將其按圖(1)的方法分割,并按圖(2)的方法焊接成扇形;按圖(3)的方法將寬BC 等分,把圖(3)中的每個小矩形按圖(1)分割并把4個小扇形焊接成一個大扇形;按圖(4)的方法將寬BC 等分,把圖(4)中的每個小矩形按圖(1)分割并把6個小扇形焊接成一個大扇形;……;依次將寬BC 等分,每個小矩形按圖(1)分割并把個小扇形焊接成一個大扇形.當n時,最后拼成的大扇形的圓心角的大小為 ( )
A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 大于
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【題目】在四棱錐中,平面底面,,,平分,為的中點,,,,,分別為上一點,且.
(1)若,證明:平面.
(2)過點作平面的垂線,垂足為,求三棱錐的體積.
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【題目】記函數(shù)f(x)=log2(2x﹣3)的定義域為集合M,函數(shù)g(x)=的定義域為集合N.求:
(Ⅰ)集合M,N;
(Ⅱ)集合M∩N,R(M∪N).
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【題目】如圖,橢圓的右頂點為,左、右焦點分別為、,過點
且斜率為的直線與軸交于點, 與橢圓交于另一個點,且點在軸上的射影恰好為點.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過點且斜率大于的直線與橢圓交于兩點(),若,求實數(shù)的取值范圍.
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