Question

已知tanα=

3

，求

sin(α+nπ)cos(α-nπ)

sin(α+nπ)+sin(α-nπ)

(n∈Z)的值．

Answer 1

分析：分別看看當n為偶數和奇數時，利用誘導公式對原式進行化簡整理，然后利用同角三角函數的基本關系和tanα的值求得cosα的值，代入原式即可求得答案．

解答：解：根據題意，分2種情況討論：
①當n=2k時，原式=

sin(α+2kπ)cos(α-2kπ)

sin(α+2kπ)+sin(α-2kπ)

=

sinαcosα

sinα+sinα

=

cosα

2

，
由tanα=

3

，得sinα=

3

cosα，又sin²α+cos²α=1，解得cosα=±

1

2

，
∴原式=±

1

4

②當n=2k+1時，原式=

sin(α+2kπ+π)cos(α-2kπ-π)

sin(α+2kπ+π)+sin(α-2kπ-π)

=

sin(α+π)cos(α-π)

sin(α+π)+sin(α-π)

=

sin(α+π)cos(π-α)

sin(α+π)-sin(π-α)

=

(-sinα)•(-cosα)

-sinα-sinα

=-

cosα

2

，
由（1）得，原式=±

1

4

．
∴原式=±

1

4

．

點評：本題主要考查了運用誘導公式的化簡求值．解題的過程中一定要注意對三角函數的正負值的判定．