Question

12．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$+6
• B． 4$\sqrt{2}$+8
• C． 4$\sqrt{2}$+12
• D． 4$\sqrt{2}$+10

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖知幾何體是組合體：前面是直三棱柱、后面是三棱錐，畫出直觀圖，并求出各個棱長以及底面的形狀，判斷出線面的位置關系、由勾股定理求出側(cè)面上的高，代入面積公式分別求出三棱柱、三棱錐的表面積，即可求出答案．

解答 解：根據(jù)三視圖知幾何體是組合體：前面是直三棱柱、后面是三棱錐，
直觀圖如圖所示：
直三棱柱A′B′C′-ABC：底面是等腰直角三角形：直角邊為$\sqrt{2}$，
幾何體的高是2，
三棱錐P-ACD：底面是等腰直角三角形：直角邊為$\sqrt{2}$，
且PO⊥面ACD，PO=2、AO=OC=OD=1，
所以三棱錐P-ACD的側(cè)棱PA=PAC=PD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在等腰△PAD中，底邊AD上的高h=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
則直三棱柱A′B′C′-ABC的表面積：
S₁=$2×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}+2×\sqrt{2}×2+（2×2-\frac{1}{2}×2×2）$=4+$4\sqrt{2}$，
三棱錐P-ACD的表面積S₂=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}+2×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=4，
所以幾何體的表面積S=4+$4\sqrt{2}$+4=8+$4\sqrt{2}$，
故選B．

點評 本題考查由三視圖求簡單組合體的表面積，由三視圖正確復原幾何體的直觀圖是解題的關鍵，考查空間想象能力．