Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A和B分別是橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和C₂：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，已知C₁的焦距為2，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，又當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A在x軸上的射影為C₁的焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A恰在雙曲線2y²-x²=1的漸近線上．
（I）求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若m，n是常數(shù)，且$\frac{1}{{m}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．證明|OT|為定值．（其中T為O在AB上的射影）

Answer 1

分析 （I）由題意可知雙曲線2y²-x²=1的漸近線方程為：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2c=2，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（II）設(shè)直線直線OA的斜率存在，且k≠0時(shí)，代入橢圓C₁和C₂，分別表示出丨OA丨²和丨OB丨²，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OT}$=0，表示出$\frac{1}{丨{OT丨}^{2}}$=$\frac{1}{丨OA{丨}^{2}}$+$\frac{1}{丨OB{丨}^{2}}$，將$\frac{1}{{m}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$代入即可求得|OT|=$\frac{m}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，直線OA斜率k不存在時(shí)和k=0，也成立，所以|OT|為定值．

解答 解：（Ⅰ）雙曲線2y²-x²=1的漸近線方程為：y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
由題意可知：可知$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由橢圓C₁的半焦距c=1，a²-b²=1，
解得：a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
（II）證明：由當(dāng)直線OA的斜率存在，且k≠0時(shí)，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，消去y得：x²=$\frac{1}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$，則丨OA丨²=$\frac{1+{k}^{2}}{\frac{1}{2}+{k}^{2}}$=1+$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$，
由T，A，B三點(diǎn)共線，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{OT}$=0，
可知丨$\overrightarrow{OT}$丨²=$\frac{丨\overrightarrow{OA}{丨}^{2}•丨OB{丨}^{2}}{丨{AB丨}^{2}}$，
即丨$\overrightarrow{OT}$丨²=$\frac{丨\overrightarrow{OA}{丨}^{2}•丨\overrightarrow{OB}{丨}^{2}}{丨\overrightarrow{OA}{丨}^{2}+丨\overrightarrow{OB}{丨}^{2}}$，
∴$\frac{1}{丨{OT丨}^{2}}$=$\frac{1}{丨OA{丨}^{2}}$+$\frac{1}{丨OB{丨}^{2}}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}=1}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，消去y，得x²=$\frac{1}{\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}{k}^{2}}}$，則丨OB丨²=$\frac{1+\frac{1}{{k}^{2}}}{\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}{k}^{2}}}$=$\frac{1+{k}^{2}}{\frac{{k}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}}$，
∴$\frac{1}{丨OB{丨}^{2}}$=$\frac{\frac{{k}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}}{1+{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{丨OT{丨}^{2}}$=$\frac{\frac{{k}^{2}}{{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{2}+{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{（1+\frac{1}{{m}^{2}}）{k}^{2}+（\frac{1}{2}+\frac{1}{{n}^{2}}）}{1+{k}^{2}}$，
∵$\frac{1}{{m}^{2}}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{丨OT{丨}^{2}}$=$\frac{（1+\frac{1}{{m}^{2}}）（{k}^{2}+1）}{1+{k}^{2}}$=1+$\frac{1}{{m}^{2}}$，
∴|OT|=$\frac{m}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
當(dāng)直線OA斜率k不存在時(shí)和k=0，也成立，
|OT|為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，計(jì)算量大，化簡過程繁瑣，屬于難題．