【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，，是棱的中點(diǎn)，，在線段上，且.

（1）證明：面；

（2）若，面面，求二面角的余弦值．

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用三角形相似證明，然后證明面．

（2）過作于，以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)，

不妨設(shè)，求出面的一個(gè)法向量，面的一個(gè)法向量，然后利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解：（1）連接交于點(diǎn)，連接．

因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以，

又面，面，所以面.

（2）過作于，因?yàn)?/span>，所以是線段的中點(diǎn)．

因?yàn)槊?/span>面，面面，所以面．連接，

因?yàn)?/span>是等邊三角形，是線段的中點(diǎn)，所以.

如圖以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)，

不妨設(shè)，則，，，，，

由，得，的中點(diǎn)，，.

設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，即，

得方程的一組解為，即.

面的一個(gè)法向量為，則，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別為， ，且離心率為， 為橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 的面積為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點(diǎn)是橢圓上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn)，延長直線， 分別與橢圓交于點(diǎn)， ，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證： 為定值.

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設(shè)由題，由此求出,可得橢圓的方程；

（2）設(shè)， ，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得；

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，同理可得.

當(dāng)直線、的斜率存在時(shí)，，

設(shè)直線的方程為，則由消去通過運(yùn)算可得

，同理可得，由此得到直線的斜率為，

直線的斜率為，進(jìn)而可得.

試題解析：（1）設(shè)由題，

解得，則，

橢圓的方程為.

（2）設(shè)， ，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，

直線的方程為代入，可得，

， ，則，

直線的斜率為，直線的斜率為，

，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，同理可得.

當(dāng)直線、的斜率存在時(shí)，，

設(shè)直線的方程為，則由消去可得：

，

又，則，代入上述方程可得

，

，則

，

設(shè)直線的方程為，同理可得，

直線的斜率為，

直線的斜率為，

.

所以，直線與的斜率之積為定值，即.

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù)， ，在處的切線方程為.

（1）求， ；

（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根， ，且，證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的短軸長為，離心率為，直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，為橢圓的左頂點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)的面積為時(shí)，求的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線：（為參數(shù)）和曲線:(為參數(shù)).

（1）化，的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

（2）若上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)到直線：（為參數(shù)）距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)(,且),且.

(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明

(3)若函數(shù)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（題文）如圖在三棱錐中， 分別為棱的中點(diǎn)，已知，

求證：（1）直線平面；

（2）平面 平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列五個(gè)命題不正確的是________.

①若等比數(shù)列的公比，則數(shù)列單調(diào)遞增.

②常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.

③在中，角ABC所對(duì)的邊分別為a，b，c，若則且.

④在中，若，則為銳角三角形.

⑤等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)m，則，，，…仍成等比數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知D，E分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求證：

（1）直線A1E∥平面ADC1；

（2）直線EF⊥平面ADC1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的方程為，圓的方程為，動(dòng)圓與圓內(nèi)切且與圓外切.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

(2)已知與為平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與軌跡交于,兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.

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