已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列{an}滿(mǎn)足下列條件:a1=a,a2≠a1,當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí),an=f(an-1)且f(an)-f(an-1)=k(an-an-1).
其中a、k均為非零常數(shù).
(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求k的值;
(2)令bn=an+1-an(n∈N*),若b1=1,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)試研究數(shù)列{an}為等比數(shù)列的條件,并證明你的結(jié)論.
【答案】分析:(1)由題意知an=f(an-1),f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),得an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),由此可知an-an-1=k(an-an-1),(n=2,3,4,),得k=1.
(2)由b1=a2-a1≠0,知b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)≠0.因此bn=an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)═kn-1(a2-a1)≠0,由此可知數(shù)列{bn}是一個(gè)公比為k的等比數(shù)列.
(3){an}是等比數(shù)列的充要條件是f(x)=kx(k≠1);先進(jìn)行充分性證明:若f(x)=kx(k≠1),則{an}是等比數(shù)列.再進(jìn)行必要性證明:若{an}是等比數(shù)列,f(x)=kx(k≠1).
解答:解:(1)由已知an=f(an-1),f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),得an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,)
由數(shù)列{an}是等差數(shù)列,得an+1-an=an-an-1(n=2,3,4,)
所以,an-an-1=k(an-an-1),(n=2,3,4,),得k=1.(5分)
(2)由b1=a2-a1≠0,可得b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)≠0.
且當(dāng)n>2時(shí),bn=an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)═kn-1(a2-a1)≠0
所以,當(dāng)n≥2時(shí),=,(4分)
因此,數(shù)列{bn}是一個(gè)公比為k的等比數(shù)列.(1分)
(3)解:{an}是等比數(shù)列的充要條件是f(x)=kx(k≠1)(2分)
充分性證明:
若f(x)=kx(k≠1),則由已知a1=a≠0,an=f(an-1)(n=2,3,4,)得an=kan-1(n=2,3,4,)
所以,{an}是等比數(shù)列.(2分)
必要性證明:若{an}是等比數(shù)列,由(2)知,bn=kn-1(a2-a1)(n∈N*)b1+b2++bn-1=(a2-a1)+(a2-a1)++(an-an-1)=an-a1(n≥2),an=a1+(b1+b2++bn-1).(1分)
當(dāng)k=1時(shí),an=a1+(a2-a1)(n-1)(n≥2).
上式對(duì)n=1也成立,所以,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為:an=a+(f(a)-a)(n-1)(n∈N*).
所以,當(dāng)k=1時(shí),數(shù)列{an}是以a為首項(xiàng),f(a)-a為公差的等差數(shù)列.
所以,k≠1.(1分)
當(dāng)k≠1時(shí),(n≥2).
上式對(duì)n=1也成立,所以,=(1分)
所以,⇒f(a)=ka.(1分)
即,等式f(a)=ka對(duì)于任意實(shí)數(shù)a均成立.
所以,f(x)=kx(k≠1).(1分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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0

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