Question

2．已知復(fù)數(shù)z₁=a²-3+（a+5）i，z₂=a-1+（a²+2a-1）i（a∈R）分別對(duì)應(yīng)向量$\overrightarrow{O{Z}_{1}}$，$\overrightarrow{O{Z}_{2}}$（O為原點(diǎn)）
（1）若向量$\overrightarrow{O{Z}_{1}}$表示的點(diǎn)的坐標(biāo)在第四象限，求a的取值范圍；
（2）若向量$\overrightarrow{{Z}_{1}{Z}_{2}}$對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由向量$\overrightarrow{O{Z}_{1}}$表示的點(diǎn)的坐標(biāo)在第四象限，列出不等式組，求解即可得到a的取值范圍；
（2）根據(jù)向量$\overrightarrow{{Z}_{1}{Z}_{2}}$對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z₂-z₁=-（a²-a-2）+（a²+a-6）i為純虛數(shù)，可得-（a²-a-2）=0，且（a²+a-6）≠0，由此求得a的值．

解答 解：（1）∵復(fù)數(shù)z₁=a²-3+（a+5）i，向量$\overrightarrow{O{Z}_{1}}$表示的點(diǎn)的坐標(biāo)在第四象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-3＞0}\\{a+5＜0}\end{array}\right.$，解得a＜-5．
∴a的取值范圍是a＜-5；
（2）∵$\overrightarrow{{Z}_{1}{Z}_{2}}$=$\overrightarrow{O{Z}_{2}}$-$\overrightarrow{O{Z}_{1}}$，
∴向量$\overrightarrow{{Z}_{1}{Z}_{2}}$對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z₂-z₁=[a-1+（a²+2a-1）i]-[a²-3+（a+5）i]
=-（a²-a-2）+（a²+a-6）i．
再根據(jù)向量$\overrightarrow{{Z}_{1}{Z}_{2}}$對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，可得-（a²-a-2）=0，且（a²+a-6）≠0．
解得a=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．