【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD為平行四邊形,PA⊥底面ABCD,,,

(1)求證:平面PCA⊥平面PCD;

(2)設(shè)E為側(cè)棱PC上的一點(diǎn),若直線BE與底面ABCD所成的角為45°,求二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)推導(dǎo)出CD⊥AC,PA⊥CD,從而CD⊥平面PCA,由此能證明平面PCA⊥平面PCD.

(Ⅱ)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角E﹣AB﹣D的余弦值.

解:(Ⅰ)在平行四邊形ABCD中,∠ADC=60°,,,由余弦定理得

,

,∴∠ACD=90°,即CD⊥AC,

又PA⊥底面ABCD,CD底面ABCD,∴PA⊥CD,

,∴CD⊥平面PCA.

又CD平面PCD,∴平面PCA⊥平面PCD.

(Ⅱ)如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.

,,,.

設(shè),,

∴x=0,,,即點(diǎn)E的坐標(biāo)為

又平面ABCD的一個(gè)法向量為

∴sin45°

解得

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為,∴,

設(shè)平面EAB的法向量為

令z=1,得平面EAB的一個(gè)法向量為

.

又二面角E-AB-D的平面角為銳角,

所以,二面角E-AB-D的余弦值為

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C. D.

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