Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{{e^{x．}}}}$-mx（m∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)m=0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)b＞a＞0時，總有$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＞1成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）由函數(shù)h（x）=f（x）-x在區(qū)間（0，+∞）遞增，問題轉(zhuǎn)化為m≤$\frac{1-x}{{e}^{x}}$-1在區(qū)間（0，+∞）恒成立，設(shè)k（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）m=0即f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，令f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	遞增		遞減

∴函數(shù)f（x）在（-∞，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（Ⅱ）∵b＞a＞0時，總有$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＞1成立，
即函數(shù)h（x）=f（x）-x在區(qū)間（0，+∞）遞增，
由h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-（m+1）x，（x＞0）得h′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$-（m+1）≥0在（0，+∞）恒成立，
即m≤$\frac{1-x}{{e}^{x}}$-1在區(qū)間（0，+∞）恒成立，
設(shè)k（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$-1，則k′（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$，令k′（x）=0，則x=2，
故x∈（0，2）時，k′（x）＜0，函數(shù)k（x）在（0，2）遞減，
x∈（2，+∞）時，k′（x）＞0，函數(shù)k（x）在（2，+∞）遞增，
故k（x）_min=k（2）=-1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故m的范圍是m≤-1-$\frac{1}{{e}^{2}}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．