Question

13．已知函數(shù)f（x）=Asinωx+Bcosωx（A、B、ω是常數(shù)，ω＞0）的最小正周期為2，并且當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時(shí)，f（x）取得最大值2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{2}$]時(shí)，方程f（x）=m有兩個(gè)不同解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）在閉區(qū)間[$\frac{21}{4}$，$\frac{23}{4}$]上是否存在f（x）的對(duì)稱軸？如果存在，求出其對(duì)稱軸方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，利用周期與最大值求出ω與A、B的值即得f（x）的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)x∈[0，$\frac{1}{2}$]時(shí)函數(shù)f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$）的部分圖象，即可得出方程f（x）=m有兩個(gè)不同解時(shí)m的取值范圍；
（Ⅲ）計(jì)算x∈[$\frac{21}{4}$，$\frac{23}{4}$]時(shí)f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$）取得最小值，即可得出f（x）的圖象存在對(duì)稱軸，求出即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=Asinωx+Bcosωx=$\sqrt{{A}^{2}{+B}^{2}}$sin（ωx+φ），
其中φ為輔助角，且tanφ=$\frac{B}{A}$，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=2，解得ω=π；
又x=$\frac{1}{3}$時(shí)，f（x）取得最大值2，
∴Asin$\frac{π}{3}$+Bcos$\frac{π}{3}$=2①，
且A²+B²=4②，
由①②解得A=$\sqrt{3}$，B=1；
∴f（x）=$\sqrt{3}$sinπx+cosπx=2sin（πx+$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{2}$]時(shí)，πx+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]
∴畫出函數(shù)f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$）的部分圖象如圖所示；

當(dāng)方程f（x）=m有兩個(gè)不同解時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是$\sqrt{3}$≤m＜2；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[$\frac{21}{4}$，$\frac{23}{4}$]時(shí)，πx+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{65π}{12}$，$\frac{71π}{12}$]，
此時(shí)f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$）取得最小值-2，
∴f（x）的圖象存在對(duì)稱軸，
令πx+$\frac{π}{6}$=$\frac{66π}{12}$，解得x=$\frac{16}{3}$，
∴f（x）的圖象對(duì)稱軸方程為x=$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了可化為正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用問題，是綜合性題目．