Question

若函數(shù)y=f（x）是函數(shù)y=a^x（0＜a≠1）的反函數(shù)，其圖象過點(

a

，a)，且函數(shù)y=-f(x+

m

x

-3)在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)，則正數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由條件求得f（x）=log

1

2

x，結(jié)合題意可得函數(shù)t=log

1

2

(x+

m

x

-3)在區(qū)間（2，+∞）上是減函數(shù)．再根據(jù)x+

m

x

-3在區(qū)間（2，+∞）上大于零，且x+

m

x

-3在（

m

，+∞）是增函數(shù)，可得

m ≤2 2+ m 2 -3≥0

，由此解得m的范圍．

解答：解：由題意可得函數(shù)y=f（x）=log_ax，再根據(jù)其圖象過點(

a

，a)，
可得loga

a

=a，即a=

1

2

，∴f（x）=log

1

2

x．
∵函數(shù)y=-f(x+

m

x

-3)在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)，且-f（x+

m

x

-3）=-log

1

2

(x+

m

x

-3)，
∴函數(shù)t=log

1

2

(x+

m

x

-3)在區(qū)間（2，+∞）上是減函數(shù)，故x+

m

x

-3在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)．
再根據(jù)x+

m

x

-3在區(qū)間（2，+∞）上大于零，且x+

m

x

-3在（

m

，+∞）是增函數(shù)，
可得

m ≤2 2+ m 2 -3≥0

，解得2≤m≤4，
故答案為[2，4]．

點評：本題主要考查求反函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．