已知函數(shù)f(x)=x+
3x

（1）用函數(shù)單調(diào)定義研究函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明之；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性作出函數(shù)f（x）的圖象，寫出該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
分析：（1）先任意取兩個變量，且界定其大小，再作差變形看符號，注意變形到等價且到位．
（2）先看函數(shù)f（x）的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，在此基礎(chǔ)上再研究f（-x）與f（x）的關(guān)系．
（3）通過（1）（2）的結(jié)論描述圖象，結(jié)合圖象寫出單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（1）任意取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2.f(x1)-f(x2)=(x1+
3
x1
)-(x2+
3
x2
)=(x1-x2)(1-
3
x1x2
)=(x1-x2)
x1x2-3
x1x2
（3分）
因為x1＜x2所以x1-x2＜0
當(dāng)x1，x2∈(0，
3
]時，0＜x1x2＜3所以x1x2-3＜0
所以f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）．
所以f（x）在（0，
3
]上是單調(diào)減函數(shù)．（6分）
同理可證f（x）在（
3
，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．（8分）
（2）函數(shù)f（x）的定義域為x|x≠0，x∈R關(guān)于原點(diǎn)對稱（9分）
因為f(-x)=-x-
3
x
=-f(x).
所以f（x）是奇函數(shù)．（12分）
（3）圖象為
精英家教網(wǎng)（14分）
函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-
3
，0)和(0，
3
)（16分）
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判斷與證明，同時還考查了利用性質(zhì)作出函數(shù)圖象，這類作圖不是很準(zhǔn)確，但在數(shù)形結(jié)合中解決問題很有效．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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