Question

13．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等邊三角形，AA₁⊥平面ABC，AB=4，AA₁=6．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱BB₁，CC₁上的點(diǎn)，則三棱錐A-A₁EF的體積為8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由${V}_{A-{A}_{1}EF}={V}_{E-{A}_{1}AF}$，能求出三棱錐A-A₁EF的體積．

解答 解：∵${V}_{A-{A}_{1}EF}={V}_{E-{A}_{1}AF}$，過B₁作B₁D⊥A₁C₁，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴B₁D⊥A₁A，即B₁D⊥面AA₁C₁C，
在△A₁B₁C₁中，B₁D=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵B₁B∥面A₁ACC₁，
∴E點(diǎn)到面AA₁C₁C的距離等于B₁到面AA₁C₁C的距離，
∴三棱錐A-A₁EF的體積：
${V}_{A-{A}_{1}EF}={V}_{E-{A}_{1}AF}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×4×2\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．
故答案為：8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．