Question

設(shè)向量

a

=（

3

sinx，sinx），

b

=（cosx，sinx），x∈[0，

π

2

]
（1）若|

a

|=|

b

|，求x的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，求f（x）的最大值，并指出對(duì)應(yīng)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）求出|

a

|²，|

b

|²，利用向量的模相等，即可求x的值；
（2）通過

a

•

b

以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)簡單一個(gè)三角函數(shù)的形式，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求f（x）的最大值，并指出對(duì)應(yīng)x的值．

解答： 解：（1）由|

a

|²=（

3

sinx）²+sin²x=4sin²x，
|

b

|²=cos²x+sin²x=1，及|

a

|=|

b

|，得4sin²x=1．
又x∈[0，

π

2

]，從而sin x=

1

2

，所以x=

π

6

．…（6分）
（2）f（x）=

a

•

b

=

3

sinx•cosx+sin²x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
當(dāng)x=

π

3

∈[0，

π

2

]時(shí)，sin（2x-

π

6

）取最大值1．
所以f（x）的最大值為

3

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)以及向量的數(shù)量積、向量的模，考查分析問題解決問題的能力．