精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
如圖,在半徑為R、圓心角為
π3
的扇形金屬材料中剪出一個長方形EPQF,并且EP與∠AOB的平分線OC平行,設∠POC=θ.
(1)試寫出用θ表示長方形EPQF的面積S(θ)的函數;
(2)在余下的邊角料中在剪出兩個圓(如圖所示),試問當矩形EPQF的面積最大時,能否由這個矩形和兩個圓組成一個有上下底面的圓柱?如果可能,求出此時圓柱的體積.
分析:(1)在Rt△OPC中,OP=R,∠POC=θ,可求PC,OC,從而可得EF,EP,即可求長方形EPQF的面積,;
(2)制成圓柱的底面周長為EF,半徑可求,△OEF的內切圓半徑可求,兩半徑比較得出結論.
解答:解:(1)由條件得CP=Rsinθ,EP=Rcosθ-
CP
tan
π
6
=Rcosθ-
3
Rsinθ
,
從而S(θ)=2Rsinθ(Rcosθ-
3
Rsinθ)
.…(4分)
(2)由(1)得S(θ)=R2[sin2θ-
3
(1-cos2θ)]=2R2sin(2θ+
π
3
)-
3
R2
,
所以當2θ+
π
3
=
π
2
時,即θ=
π
12
,S(θ)
取得最大值,為(2-
3
)R2
.…(7分)
此時EF=2Rsin
π
12
=
6
-
2
2
R
EP=Rcos
π
12
-
3
Rsin
π
12
=
6
-
2
2
R
,
所以EPQF為正方形,依題意知制成的圓柱底面應是由EF圍成的圓,
從而由周長2πr=EF=
6
-
2
2
R
,得其半徑為
6
-
2
R≈0.084R
.…(11分)
另一方面,如圖所示,設圓與OA邊切于點H,連接GE、GH、GA,EA=OA-OE=
2+
2
-
6
2
R

設兩小圓的半徑為GH=r,則EH=
r
tan
π
12
=(2+
3
)r
,
且AH>r,從而(2+
3
)r+r<
2+
2
-
6
2
R
,所以r<
2+
2
-
6
2(3+
3
)
R≈0.10R
,
因0.084R<0.10R,
所以能作出滿足條件的兩個圓.此時圓柱的體積V=
(3
6
-5
2
)R3
.…(16分)
點評:本題用柱體的側面積和體積作為載體,重點考查了三角函數的運算與性質,求側面積 S(θ)的最大值和柱體的體積時,考查了兩角和與差的運算,且運算量較大,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在半徑為r的圓內作內接正六邊形,再作正六邊形的內切圓,又在此內切圓內作內接正六邊形,如此無限繼續(xù)下去,設Sn為前n個圓的面積之和,則
lim
n→∞
Sn=( 。
A、2πr2
B、
8
3
πr2
C、4πr2
D、6πr2

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在半徑為R的圓內隨機撒一粒黃豆,它落在陰影部分內接正三角形上的概率是( 。
A、
3
4
B、
3
3
4
C、
3
D、
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在半徑為r的圓內作內接正六邊形,再作正六邊形的內切圓,又在此內切圓內作內接正六邊形,如此無限繼續(xù)下去,設Sn為前n個正六邊形的面積之和,則
lim
n→∞
Sn=(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:2011-2012學年新人教版高三上學期單元測試(5)數學試卷 題型:選擇題

如圖,在半徑為r 的圓內作內接正六邊形,再作正六邊形的內切圓,又在此內切

圓內作內接正六邊形,如此無限繼續(xù)下去,設為前n個圓的面積之和,則=(    )

A.2          B.    

 

C.4           D.6

 

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源:2010年孝感高中高一下學期期末考試數學卷 題型:選擇題

如圖,在半徑為r的圓內作內接正六邊形,再作正六邊形的內切圓, 

又在此內切圓內作內接正六邊形,如此無限繼續(xù)下去,設為前

個正六邊形的面積之和,則=(   )

A.               B.                C.               D.

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案